jueves, 13 de febrero de 2014

Roof



Este es el segundo de los puzzles que me trajeron los reyes magos (todos de Vinco). No es tan aparente como Bicone, pero su solución también es muy interesante.

La forma final a la que hay que llegar usando las seis piezas es este “tejado” en el que no hay ningún hueco y que da nombre al puzzle.






Una vez más, Vinco utiliza piezas que nos hacen salir un poco de los esquemas perpendiculares que tenemos tan anclados en nuestra cabeza. La base del puzzle mide unos 9,5 cm de larga y unos 4,5 de ancho, y como en todos los puzzles de Vinco, de un magnífico acabado. Como se aprecia en la fotografía, todas las piezas constan de dos trozos de madera. Ambos cortados de una varilla de sección triangular (un triángulo rectángulo isósceles).



Consideraremos la medida de los catetos de esa sección como unidad de medida (longitud 1). Tendremos que uno de los trozos que forman cada pieza tiene longitud 2 y el otro longitud 1 (es como medio cubo seccionado por la diagonal menor). De esta manera, hay 16 formas de pegar estos dos trozos de madera para hacer una pieza del tipo de las que tiene el puzzle.



Como ya hemos visto antes, para este puzzle Vinco ha seleccionado 6 piezas de las anteriores. Según aprecio en algunas fotografías de internet, las piezas son las mismas que las del puzzle Triangle (aquí está en el foro deGabriel Fernandes). Pero Roof no viene con la base sobre la que montarlas.

En mi opinión, con la base es más bonito para dejarlo en la estantería de adorno, pero es más interesante resolverlo sin ella. El motivo es que la base desvela totalmente cuál será el tamaño final del puzzle. Mientras que sin ella es necesario hacer un cálculo del volumen de las piezas para descubrir el tamaño final del puzzle. Esto es importante ya que la inclinación de 45 grados de los laterales del tejado final la podemos conseguir colocando las piezas con la hipotenusa en la base o con o con el cateto en esa posición.

Con la unidad de medida de referencia que hemos tomado (la de los catetos), cada pieza tiene volumen 1,5. Y tenemos 6 piezas, luego la figura final debe tener un volumen de 6·1,5 = 9. Ahora nos imaginamos o dibujamos posibles formas de apilar este tipo de piezas y estudiamos los posibles tamaños (los triángulos marcados en rojo representan una sección básica del listón con el que se fabricaron las piezas):




Ahora sabemos el tamaño que debe tener el puzzle montado y en qué dirección deben ir las diagonales de longitud irracional (como primero de los dibujos anteriores). Advertencia: para resolverlo hay que echarle mucha paciencia. En la web de Vinco está clasificado como de nivel 4 (sobre un máximo de 5) pero en la caja del que yo recibí ponía nivel 5. Está claro que el nivel de dificultad es muy subjetivo pero por esta misma razón yo le pondría el nivel 5 (aunque luego tuviese que inventarme un nivel 6). Reconozco que en más de un momento llegó a desesperarme. Lo dejé aparcado un par de veces para retomarlo con más fuerzas y tentado estuve de usar BurrTools para resolverlo

Lo más complicado que veía era encontrar la orientación de las piezas que se tienen que colocar en la arista superior del tejado. Y cuando más desesperado estaba, llegó la solución. A quien sea aficionado a los puzzles no hace falta que le describa lo bien que te sientes al resolver un juego que se ha resistido durante bastante tiempo (y a quien no sea aficionado... que se aficione).

Corrí  a poner el puzzle en BurrTools y encontré que tenía dos soluciones. Yo esperaba que fuese única (por lo que me había costado), y casi lo era ya que las dos soluciones son idénticas para todas las piezas excepto 2, que pueden “intercambiar” sus posiciones.


Variaciones

Ya que tenía las piezas en BurrTools, introduje las otras 10 que he mostrado más arriba intentando buscar variaciones sobre la idea original de este puzzle.

Lo primero fue buscar una figura final que pudiese contener (por volumen) las 16 piezas diferentes. Estas piezas suman un volumen de 24. Si queremos mantener la forma de tejado, para que tenga el volumen deseado debemos usar una profundidad de 3 en lugar de 2. Seguiríamos teniendo las diagonales paralelas a la base y el tejado sería un poco más grande (como el del tercer dibujo mencionado anteriormente pero con profundidad 3). Según BurrTools tiene 180 soluciones diferentes (que tampoco son muchas teniendo en cuenta el número de piezas).




Y ¿se podría haber usado alguna otra combinación de 6 piezas distinta de la de Vinco para llegar a la misma forma y tamaño final de Roof? Pues no. Hay 8008 formas de elegir 6 piezas de las 16 y sólo 24 de esas combinaciones se pueden reagrupar con la forma y tamaño indicados. Además las 24 combinaciones dan lugar a la solución de dos formas distintas cada una (Igual que la de Vinco, que es una de ellas).
  
Los matemáticos siempre buscamos figuras “perfectas” de manera que es inevitable preguntarse qué haría falta para formar un cubo. Pues Harían falta las 16 piezas y dos más del mismo tamaño. Lamentablemente BurrTools no puede resolver en un tiempo razonable el puzzle que contiene  las 16 piezas al menos una vez cada una y dos de ellas repetidas. Sí que ha resuelto problemas concretos en los que yo he elegido las piezas que quería repetir. Hay 120 formas de elegir cuáles serán las dos piezas repetidas, y de las tres combinaciones que he probado la que menos soluciones tenía era de 742.
 
Ya que no podemos tener el cubo completo sólo con el conjunto “perfecto” de las 16 piezas, nos conformaremos con formar un cubo con un hueco central (tendría 728 soluciones). Y si dejamos la “columna hueca” en una arista las soluciones se amplían a 819. Sorprendentemente, si dejamos el hueco en el centro de una cara lateral no tiene ninguna solución.





Y por último, podemos formar un “tejado” con 12 piezas pero esta vez colocando las diagonales oblicuas a la base. Habría que elegir cuales son las 12 piezas que tomamos de las 16.  Hay 1820 formas de elegir esas 12 piezas y de estas combinaciones 564 proporcionan alguna solución válida. Además, en la mayoría de las combinaciones con soluciones válidas, estas son muy pocas. Abundan las de solución única. De hecho la combinación de más soluciones sólo tiene 50. (Estos últimos recuentos pueden tener algún error ya que los he hecho manualmente sobre las 1744 soluciones que daba BurrTools).



Probablemente, la mayoría, llegados a esta altura ya estaréis mareados de tantas combinaciones (si es que habéis llegado) pero es que este juego da mucho juego.


Enlaces:


Otra variante con este tipo de piezas que yo no he analizado aquí en la tienda de Vinco (también puzzles con la misma forma de tejado pero con piezas de otro tipo).

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