Tangram

El puzzle de la fotografía no necesita presentación, pero aún así me he decidido a escribir este post para rendirle mi pequeño homenaje ya que es el primer puzzle que me compré. Recuerdo que lo vi en la habitación de un compañero del colegio mayor, me lo dejó probar y al día siguiente otro compañero y yo buscamos una tienda para comprarnos otro cada uno. Era la época de exámenes y no podía dejar de jugar con el dichoso tangram.

De todos modos, por si llega a ver esto alguna persona que todavía no sabe en qué consiste este puzzle: Está formado por las 7 piezas que aparecen en la fotografía, y hay que conseguir que la silueta de las piezas dibuje cada una de las figuras propuestas usando todas las piezas sin que se superpongan. La primera figura es un cuadrado, y así se suele guardar en su caja.

El juego es muy antiguo y procede de China, en este caso parece que no es sólo una estrategia de márquetin. Más difícil es llegar a saber cuándo apareció, ya que se mezcla la leyenda, con el márquetin y la realidad. Según pone en la Wikipedia, en 1815, el capitán M. Donnaldson llevó a América un libro escrito en china sobre el tangram y un par de años después se publicó también en USA otro libro similar. También aparecen publicados en el mismo año otro par de libros en Italia y en Francia sobre el tangram. La coincidencia en las fechas de publicación en estos tres países creo que demuestra que el juego se extendió como la pólvora. De modo que a todos aquellos a los que les ha enganchado el juego pueden estar tranquilos, no son los únicos.

Las figuras que podemos formar con las piezas del tangram no son infinitas, aunque el número de las figuras geométricas o dibujos figurativos que se conocen son enormes. Según pone también en la Wikipedia, en 1942 Fu Traing Wang y Chuan-Chin Hsiung demostraron que hay sólo 13 figuras convexas que se puedan formar con estas piezas.

Son famosas algunas “paradojas” a las que podemos llegar con las piezas del tangram (que no son tales, sino falacias). La paradoja de los monjes es atribuida a Dudeney y consiste en formar un monje con píe y luego otro sin pie (puesto que se usan siempre todas las piezas, dichos monjes está claro que serán ligeramente distintos, aunque las figuras en negro parezcan iguales). También es muy conocida la paradoja de la taza mágica de Sam Loyd y la del cuadrado que se muestra en uno de los dibujos siguientes. Hace poco me pasó Primitivo Familiar la paradoja de un paisaje (desconozco su origen), a la que yo añadí un tercer paisaje parecido y que también añado a continuación (enlace para ver más paradojas).

Y como era de esperar, un juego tan popular y que se extendió tan rápidamente ha dado lugar a muchas variantes: El huevo de Colón, Cardio Tangram, Tangram de 5 piezas, Tangram de Fletcher, Armonigrama, Hexagram, Tangram ruso, Tangram triangular, Tangram pitagórico, Tangram de Brugner, … En este enlace puedes ver algunos de ellos, y también dejo yo aquí la fotografía del mi ejemplar del "Huevo de colón".

Una versión que me encontré casualmente este año en la feria del libro de mi ciudad es el tangram triangular o Tangram de 8 piezas. Y lo mejor es que lo encontré junto con el libro “El tangram de los ocho elementos” de Jaume Llibre (de 1977), que es el creador de esta variante.

Este tangram tiene varias peculiaridades, es interesante que cada pieza tenga un tamaño distinto y que los tamaños de las piezas estén en progresión aritmética. Pero tiene el inconveniente de que las longitudes de los lados son todas conmensurables (es decir, hay una medida básica que sirve para que todas las longitudes sean múltiplos exactos de ella), mientras que el tangram original no tiene esta propiedad, sino que utiliza medidas que mezclan lados de longitud racional con irracional (y esto hace más interesante al tangram original, bajo mi punto de vista).

Aunque lo que es sorprendente es el caso del puzzle Stomachion. Este puzzle es el más antiguo del que se tiene constancia escrita y se atribuye nada menos que a Arquímedes (aunque tal vez no fuese el creador sino el responsable de su análisis y por tanto de que haya llegado hasta nosotros).

Durante siglos el puzzle era conocido y asociado a Arquímedes sólo por referencias indirectas y traducciones incompletas al árabe y al latín. Pero, como salido del argumento de una novela, en 1998 llegó a manos de un millonario un manuscrito de oraciones árabes que estaba escrito sobre un texto borrado de Arquímedes (es el llamado, Palimpsesto de Arquímedes). El estudio del libro para llegar a leer buena parte del texto original está descrito en libros y algún documental. Una de las sorpresas encontradas en el palimpsesto es este puzle llamado por  error desde antiguo Stomachion. Por desgracia, el puzzle estaba en la última página rescatada del libro y todo indica a que en las páginas siguientes (perdidas) Arquímedes analizaba el puzzle para ver de cuantas formas posibles se podía construir un cuadrado con todas las piezas dadas.

Es una lástima que esos primeros pasos del análisis combinatorio de la mano de Arquímedes no nos hayan llegado, pero el análisis de todas las soluciones lo llevó a cabo Bill Cutler. Bill encontró todas las soluciones usando un programa informático creado por él mismo, y unas pocas semanas después Fan Chung y Ron Graham confirmaron sus resultados desde un punto de vista más formal. También he encontrado referencias a que lo resolvieron Diaconis y Holmes de Stanford. El número total de soluciones es de 17.152, pero eliminado las simétricas quedarían en 536. Y dado que hay dos piezas iguales que pueden intercambiarse, dichas soluciones se pueden reducir a la mitad: 268. Lo que de momento no podremos saber es si Arquímedes llegó a esta conclusión.


Enlaces:
Wikipedia en inglés
Wikipedia en español
Historia del Tangram
Huevo de Colón en Wikipedia

Variantes1
Variantes2
Wikipedia Estomachion
Entre otras cosas, este enlace contine las 268 soluciones del Estomachion
Art'iculo sobre Estomachion en la Revista Suma (escrito por el Grupo Alquerque)
Actividades con Tangram para el Aula de matemáticas publicado por la sociedad Thales (escrito por A. Gámez, S. Fandiño, L.M. Marín & R. Rodríguez)