Flowers

 

Según lo que he podido encontrar sobre el puzzle Flowers, fue intercambiado en la IPP40 de Jerusalem (2023) por Allan Stein. Y de lo que no estoy seguro es de si el diseño corresponde exclusivamente a Jürgen Reiche o si lo hizo en colaboración con Allan Stein. Y fue fabricado en Aemania por Siebenstein-Spiele.

El objetivo del puzzle, como es evidente, es colocar las 7 piezas en los ejes de la base. Dada la gran irregularidad de las piezas, se puede comprobar que estas pueden colocarse de muchas formas sin que encajen perfectamente con la pieza contigua, pero como también es evidente, esa no es una forma correcta de colocarlas. (Por ejemplo, la unión marcada en la siguiente imagen no es válida)

En cuanto me llegó el puzzle me puse a jugar con él un poco a tontas y a locas, familiarizándome con las piezas e intentando buscar cómo conectar unas con otras. Esto me llevó bastante tiempo ya que con tantas irregularidades es muy fácil perderse y no reconocer por dónde tiene que unirse cada pieza. Además, el hecho de que las piezas sean reversibles complica un poco más el juego y lo hace más interesante.

Análisis de las piezas.

En este apartado vamos a ver cómo podemos analizar el juego para llegar a encontrar una solución y saber si es única o no. De modo que si no quieres tener pistas sobre cómo resolverlo no sigas leyendo hasta llegar al siguiente apartado sobre Drive Ya Nut.

 

Por la configuración del juego, se intuye que el diseño de las piezas puede estar basado en hexágonos regulares con los lados modificados. Cada lado de un hexágono es modificado con entrantes y salientes para que luego encajen unas en otras.

Con esto en mente analicé todos los entrantes y salientes de todas las piezas (por las dos caras) buscando qué partes permitían a unas piezas conectar con otras. Esto llevó su tiempo, dada la gran irregularidad de las piezas, pero resultó muy útil ya que desveló que al final sólo hay tres tipos de unión diferentes en todos los lados de las piezas hexagonales básicas. Dos de estas uniones podríamos decir que son orientables: es decir, que si volteamos una de las dos piezas ya no se pueden unir correctamente. Mientras que otra de las uniones sí es simétrica (y por lo tanto sirve aunque volteemos sólo una de las piezas). En la siguiente foto vemos marcada en rojo la unión simétrica y en azul y verde un mismo tipo de unión visto desde los dos lados posibles.

Foto con unión a en rojo y la otra en verde y azul

Aunque alguna de las uniones de la foto anterior pueda parecer que tienen cierta holgura, esto es comprensible y necesario ya que unos márgenes de tolerancia siempre son necesarios en las uniones y en la base. En realidad al estar cortadas con laser las piezas fuera de la base encajan a la perfección. Sólo hay una pequeña puntualización que hacer en la unión que he dicho que era reversible: en todas las piezas en que tenemos esta unión, las piezas encajan mejor de un lado que del otro. De hecho en mi análisis, por precaución, primero lo hice como si fuese una unión asimétrica. Pero al ver que de ese modo el juego no tendría solución modifiqué mi punto de partida.

En mi análisis llamé a las uniones a, b y c. Cada unión tiene siempre dos partes (una en cada pieza de las que se unen) una saliente y una entrante: podemos llamarlas una + y otra –. Y como las piezas pueden ser volteadas, vamos a distinguir +b de su reverso usando una comilla +b’ ( Igual para –b, a, +c  y  –c).

De este modo +a encaja bien con –a  y con  –a’ (su reverso) ya que es simétrico. Pero +b sólo encaja bien con –b (y  +b’ con –b’)  igualmente   +c encaja con –c  ( y +c’ con –c’).

Por ejemplo una pieza podría tener, en sentido horario, lados: +a  +a  –b’  +c  –b  +c’ (esa pieza me la he inventado). Y al voltearla sobre la mesa cambiarían las comillas y el orden, con lo cual sería: +c  –b’  +c’  –b  +a’  +a’ (aunque en realidad +a=+a’).

Visto así el juego puede modelizarse como 6 hexágonos que tienen que colocarse alrededor de otro central de modo que sus caras se unan según las reglas descritas en el párrafo anterior. De este modo recuerda mucho al juego Drive Ya Nuts (que se comentará más abajo) pero con una reglas diferentes y piezas reversibles (que no son pocas variaciones).

Pero esta notación permite varias cosas. Por un lado podemos dibujar las piezas (o calcarlas) y poner en cada vértice o entrante la letra correspondiente. De este modo nos perderemos menos y podremos hacer un análisis en papel que nos lleve a la solución (así lo hice yo). Por otro lado también nos permite introducir el juego en BurrTools (Con space grid: Triangular Prism). Sólo hay que tener un poco de imaginación y definir en los lados de unos hexágonos entrantes y salientes simétricos o asimétricos que respeten las reglas de unión indicadas.

Finalmente con Burrtools he podido saber que el juego tiene una solución única. Mediante mi análisis con lápiz y papel he podido ser lo suficientemente metódico como para llegar a encontrar la solución. Pero tengo que reconocer que una vez que la encontré no terminé de analizar las posibilidades para llegar a que esa solución sea única. La razón para no seguir analizando a mano es que incluso con mi notación y mi “mapa” de las piezas se hacía un poco tedioso ir escribiéndolo todo. Tal vez alguien pueda hacerlo de alguna otra manera que lo aligere un poco, algo así como lo que hizo Rob  para Drive Ya Nuts (que comentaré a continuación).

 

Drive Ya Nut

Como he comentado ya antes, la distribución recuerda mucho al juego Drive Ya Nuts. Yo tengo una versión en la que pone el nombre  Tuercas Rompecabezas pero cuyas piezas son las mismas, con lo cual entiendo que es una copia en castellano del primero.

En este caso las piezas son hexagonales no reversibles y la única limitación es que los números donde contacten dos piezas tienen que coincidir. Veremos a continuación que hay infinidad de puzzles que usan este mismo criterio con distintas variantes y se suelen englobar como una categoría: Edge matching.

En este caso el análisis del juego es más sencillo, y llegar a la solución única cuesta un poco menos. Sólo me gustaría comentar lo interesante y rápido que me ha parecido el método descrito por Rob para encontrar la solución y además llegar a deducir que dicha solución es única. Puedes encontrarlo aquí:  Rob's Puzzle Page - Pattern Puzzles

 

Historia

Según se detalla en la página de Rob mencionada antes, debemos este tipo de puzzles a Edwin Lajette Thurston, un abogado de patentes de Cleveland (o por lo menos es el primero que la registró en la oficina de patentes). En 1892 registró las patentes 487797 y 487798 donde se detallan tres puzzles de lo que ahora llamamos Edge Matching. Estos puzzles eran:

a)      Un cuadrado 4x4 donde cada cuadrado individual de los 16 tenía números en los vértices (con un total de 6 números distintos).

b)      Un cuadrado 4x4 donde cada lado tiene un número diferente (con un total de 6 números distintos).

c)       6 piezas con forma de rombo que se juntan todas en un punto central. Los 6 números distintos están en los lados del rombo.

Lo que es muy curioso es que a principios de 1900's este tipo de juegos estaba ya muy extendido. Encontramos bastantes ejemplos de juegos que se usaban en muchos casos a modo de reclamo publicitario. Hay ejemplos donde hay que conseguir que los colores no coincidan, donde los números tienen que sumar una determinada cantidad, Con piezas triangulares, con 19 hexágonos (de este tipo hay varios ejemplos con premios y anécdotas incluidos), etc.

En relación a los que están formados por 7 hexágonos, según Rob, el primer ejemplo que él ha documentado sería entre 1930 y 1940 y tenía publicidad de Nestle. También me ha parecido curioso un ejemplar llamado Pair-it de Douglass Novelty Co que aparece incompleto en el libro New Book of Puzzles de Slocum and Bothermans (pp 24), aunque no indica de cuándo es el juego.

 

Número de juegos con 7 hexágonos.

Los datos que comento en este apartado están extraídos completamente de la página: Counting edge-matching puzzles | Possibly Wrong

Hay 5!=120 piezas hexagonales posibles con los números del 1 al 6 sin repetir ninguno. Si ahora queremos elegir 7 piezas de ese conjunto permitiendo repeticiones de piezas(ya que en muchos ejemplos encontrados estas repeticiones son permitidas), tendremos (120+7-1) sobre 7 que da como resultado 84.431.259.000 puzzles diferentes.

Según indica la persona que ha escrito el blog mencionado arriba (no he localizado el nombre del autor), de esos puzzles sólo 4.967.864.520 tienen solución. Y con solución única hay “sólo” 3.899.636.160.

Además añade que es posible hacer permutaciones entre los números de un set de piezas concreto, lo cual lo mantendría siendo el mismo puzzle en esencia pero sería otro de los que hemos contado. Vamos a elegir como representante canónico de cada “grupo de puzzles equivalentes” al que tenga una pieza concreta (por ejemplo, la pieza 123456 en sentido horario). Podemos quedarnos sólo con los puzzles que incluyan esa pieza y así hemos eliminado las permutaciones de juegos idénticos. De este modo tendríamos que hay sólo 281.528.111 puzzles (supongo que estos serían con solución), de los cuales 221.013.350 tienen solución única.

No tengo ni idea de programación para comprobar ni desmentir estos datos, aunque está claro que el planteamiento tiene lógica. En principio dejo aquí los datos que por lo menos me parecen curiosos.

Y más curioso aún es el hecho de que habiendo tantos puzzles con las características mencionadas, al final encontremos tantos puzzles que son copias unos de otros.

 

Solución general de un puzzle según su tamaño

Intentando localizar algún método general para resolver estos puzzles me he encontrado con algunos artículos matemáticos en donde se estudia este tipo de problemas en generalizaciones de tamaño cada vez mayor. En uno de los artículos se describe cómo se pueden plantear sistemas de ecuaciones cuya solución nos llevaría a la solución del puzzle.

El inconveniente que hay detrás de esta aparente buena noticia es que el problema es de tipo NP-completo, es decir son problemas cuyas soluciones pueden verificarse en tiempo polinómico pero no se ha encontrado un método eficiente para resolverlos en todos los casos.

GlobalPuzzles.pdf

(PDF) Edge Matching Puzzles as Hard SAT/CSP Benchmarks (Extended Version)

¿Y qué motiva tanto interés en este tipo de problemas para números grandes? Pues uno de los alicientes supongo que fue la resolución de los problemas Eternity (I y II). Aunque en la actualidad el plazo para recibir el premio de la segunda versión ha expirado sin ningún ganador de los 2 millones ($).

 

Dos modelos más y enlace para jugar

Y por último dejo aquí también una fotografía de otro de los juegos a los que les tengo mucho aprecio ya que son de los primeros que tuve. También es muy curioso que aparezca por todo el mundo casi siempre con la misma distribución de colores y que se venda en ferias y mercadillos. En concreto, con la distribución de colores de la fotografía tiene 4 soluciones diferentes.

Y dejo una foto de otro modelo que me parece interesante y que de momento lo tengo hecho sólo con papel plastificado (no recuerdo de qué foto lo copié, con lo cual desconozco el autor). En este caso para formar el cuadrado 4x4 Burrtools cuenta 6 soluciones diferentes. Y con esas piezas he buscado formar otras distribuciones con un eje de simetría para las cuales el número de soluciones se amplía a 16, 57 o 116 (bajando así la dificultad del juego).

Y bueno, la variación en este tipo de juegos es enorme: juegos del tipo cabeza y cola (orientados), pasando a tres dimensiones, que en los vértices todos los colores sean distintos, … Con mirar la página de rob haremos un barrido bastante grande por lo que se ha ido comercializando en este tema. Y ha sido una lástima no haber podido conseguir los libros de Jacques Haubrich  (sobre todo “About, Beyond, and Behind Card Matching Puzzles”)

Por último, dejo aquí el enlace de un programilla que he encontrado para poder jugar con algunos modelos de este tipo:

CS106B Tile Matching - The Pattern Puzzle Solver