lunes, 21 de abril de 2014

Burr de 6 piezas (I)

Este post no es en realidad sobre un solo puzzle sino sobre una variedad entera que, por cierto, es bastante numerosa. El puzzle tiene 6 piezas hechas a partir de listones de madera de sección cuadrada y triple de largo que de ancho (aunque hay variantes más largas). La forma final a la que debemos llegar es siempre la misma. Como vemos en la fotografía, las piezas se entrelazan en tres planos perpendiculares, y en este caso lo hacen sin dejar ningún hueco en su interior. Aunque una descripción escrita nunca podrá hacer justicia a un puzzle como este.






Cualquier persona mínimamente aficionada a los puzzles ya habrá visto montones de puzzle como este. El origen de este puzzle no está nada claro aunque tradicionalmente se le ha considerado de origen chino. Las referencias que se remontan más en el tiempo atribuyen a Lu Ban (Siglo V antes de Cristo) la invención del mismo. Y sí es cierto que en la arquitectura tradicional china y en la fabricación tradicional de muebles se usaban métodos como los del puzzle para unir piezas transversales sin la utilización de clavos ni cola.

Este supuesto origen legendario y exótico ha sido usado a lo largo del tiempo como gancho publicitario, costumbre que incluso hoy perdura. Lo cierto es que se han conservado ejemplares del juego de principios del siglo XX (bajo el nombre de Mikado). Aparecen también referencias a este puzzle en el registro de patentes de Estados Unidos (en 1916 como “Chinese Cross”), en el libro de Hoffman “Puzzles Old And New” (en 1893 aparece como “The Nut”), en un catálogo de juegos alemán (en 1785 es llamado “The Small Devil’s Hoof”), en el libro español “Engaños a ojos vistas” de Pablo Minguet y Yrol (de 1733 y con un facsímil de una reimpresión que está ahora en venta en las librerías). Pero el premio a la referencia más antigua (de momento y dejando los mitos aun lado) la encontramos en un grabado alemán “L’Académie des Sciences et des Beaux Arts” de Sebastien Leclerc de 1698, donde aparece dibujado. (Todos los datos los he encontrado en internet en varios sitios, aunque aparecen sintetizados en la página de puzzles de Rob).

Es curioso que aparezcan referencias antiguas a este juego en zonas bastante distantes del mundo y además resulta que en esas referencias hay varias combinaciones de piezas distintas para intentar formar la misma pieza final.

¿Y cuántos conjuntos de piezas distintos hay para este puzzle? La respuesta más directa es: demasiados. Bill Cutler fue el primero en “exprimir” al máximo este tipo de puzzles utilizando la potencia de los primeros ordenadores: publicó en 1977-78 en “the Journal of Recreational Mathematics” el análisis completo del puzzle sin huecos. También se publicó un resumen en la columna de “Scientific American” de Martin Gardner en enero de 1978. Y después de esto, no se conformó sino que continuó con el programa para analizar puzzles con huecos interiores (más complejos ya que en muchos casos necesitan varios movimientos para liberar la primera pieza).(Dejo aquí un enlace al texto que el mismo Bill ha compartido de su investigación.)

Para empezar a entendernos en todo este mundo de piezas diferentes hace falta en primer lugar un sistema único para identificarlas. Bill Cutler usó un sistema basado en el sistema de numeración binario. Ya que todas las piezas se basan en la eliminación de pequeños “cubos” de un listón de madera, se puede ver cuáles son los cubos eliminados y atribuirle un número según ese sistema (detalles sobre esta numeración).

Este sistema ligeramente modificado por Jurg Von Kaenel es el que yo me he acostumbrado a utilizar y que voy a detallar ahora. El sistema de Kaenel no es ni mejor ni peor que el de Bill, y si yo me he decidido por usar el de Kaenel es sólo que lo he encontrado en más direcciones de internet (de hecho es el que usaban en la web más completa de este puzzle que había en internet, la página era de IBM y ya no está, aunque por suerte yo tengo todavía guardados archivos de esa página que ya comentaré en el próximo post).
El número que identifica a una pieza será el resultado de sumar  1 al valor de cada cubo que ha sido eliminado en la fabricación de la pieza, según el esquema siguiente (Tomado de la página de Rob):



    +----+----+----+----+----+----+
   /    / 16 / 32 / 64 / 128/    /|
  +    +----+----+----+----+    + |
 /    /  1 /  2 /  4 /  8 /    /  +
+----+----+----+----+----+----+   |
|    |    |    |    |    |    |   |
|    |    |    |    |    |    |   +
+    +----+----+----+----+    +  /
|         |    |    |         | + 
|      a  | 256| 512|  b      |/  
+----+----+----+----+----+----+   
 

(Los cubos detrás del 256 y del 512 también pueden eliminarse, aunque ese tipo de piezas son más raros y esos cubos reciben respectivamente los valores 1024 y 2048)

Para intentar identificar una pieza la tendremos que rotar a lo largo de su eje mayor y tal vez girar 180º de izquierda a derecha hasta encontrar la orientación u orientaciones en que los cubos a y b y los cubos detrás de estos estén presentes. Si la pieza se puede situar de varias formas distintas según esta regla, nos quedaremos con el número más bajo de los obtenidos para identificarla.





Además es importante distinguir que hay varios tipos de piezas según cómo pueden fabricarse:

    Piezas de tipo “Notchable” son las más sencillas de fabricar. Los cubos que hay que eliminar se pueden quitar usando una sierra de lado a lado de la pieza. Un par de ejemplos: Si quitamos los cubos con los números 2 y 32 tendremos una pieza de este tipo (sería la pieza número 35); Y si quitamos además las piezas 256, 512 y 4 tendríamos otra (la número 807 y girándola es la 615, así nos quedaríamos con esta última numeración).

    Piezas “Millable” son un poco menos restrictivas que las piezas tipo “notchable”, se pueden fabricar usando una fresadora. Y en ellas puede haber “huecos interiores” pero que no formen una esquina. Por ejemplo, si eliminamos los cubos 1, 2, 4, 8, 16 y 128. (Por cierto, cualquier pieza notchable es también millable)

    Piezas de tipo General son piezas incluyen también aquellas en las que hay que “tallar” huecos interiores. Por ejemplo, si quitamos los cubos numerados como 2, 32 y 1 tendríamos una pieza de este tipo (la 36) y que no se encuentra en los grupos anteriores.

Muchas veces se usa el término No Notchable para referirse a piezas fuera del primer grupo, aunque no se diferenciaría entre las de los otros dos grupos.


Con todo esto voy a retomar mi puzzle concreto: sus piezas (de izquierda a derecha) son según ese sistema de numeración: 1, 188, 768, 824, 976 y 1024. Tiene solución única, el orden de colocación de las piezas es importante, y es interesante el hecho de que tiene una pieza del catálogo general (la 976):


Esta combinación es la número 49 de las que aparecen detallados en el listado la página de Rob. Y, según se indica en dicha página, se puede encontrar con los siguientes nombres comerciales: “HABA” (en Teufelsknoten); “Enigma” (en Puzzlemaster.ca); “Notched Sticks”  “The Cross of Marseille”. También se menciona que es un puzzle simétrico del llamado “Devil's Knot”. (He incluido los enlaces a dos de esos nombres que incluyen la solución).

 Este fue uno de mis primeros puzzles, y más concretamente fue el primero del tipo interlocking. La verdad es que quedé bastante impresionado por cómo las piezas encajaban tan bien y formando una forma final tan compacta y bonita.

Normalmente estos puzzles son más difíciles de montar que de desmontar, aunque en mi caso creo que las dos cosas fueron casi igual de difíciles. En realidad no es que sea difícil de desmontar, es que al parecer el juego había estado empaquetado mucho tiempo, las piezas estaban un poco pegadas y la madera algo humeda. Y como yo no tenía ni idea de qué pieza (o piezas) debía mover ni en qué dirección, tenía miedo de forzarlo y romperlo. Ahora la pieza 1 se desliza con facilidad pero sin tener demasiada holgura. Cosa que sí le pasa a este otro juego de la colección de hace unos años de Orbis:


Las piezas del juego de la imagen anterior son 1, 256, 1024, 824,975 y 928. Pero la verdad es que encajan bastante mal (puede apreciarse en la fotografía), el juego pertenecía al coleccionable mencionado anteriormente y la verdad es que no se esmeraron nada en buscar un buen fabricante.

En la siguientes imagenes he puesto otro ejemplo en forma de llavero con las piezas iguales que las de Orbis.
a

El siguiente ejemplar muy curioso, en este caso también es pequeño, pero ahora de madera. Este lo compré junto con una caja china (en realidad fabricadas en Japón) de la que algún día hablaremos aquí.

En el juego de la imagen anterior se usan las piezas 1, 256, 256, 256, 1024 y 1024 (aunque más largas) y tiene unos huecos en la parte central. Estos huecos no tienen ninguna función y se podrían haber rellenado sustituyendo las dos piezas 1024 por otras de numeración 928, aunque en este caso supongo que no se ha hecho por el pequeño tamaño de las piezas (y que era un puzzle bastante económico).

Y por último otro modelo curioso. También pequeño, de plástico y con las piezas cilíndricas. En este caso, la forma de construir las piezas hace que sea posible construir sólo unas pocas piezas diferentes “taladrando” una pieza base en forma de cilindro (si no me equivoco sólo se podrían hacer las piezas 1, 52, 256, 824, 975 y 1024). Este puzzle fue un regalo de los compañeros del grupo Alquerque y está formado por las piezas 1, 256, 256, 256, 1024, 1024:


Para terminar, no me puedo resistir a colocar un poquito más de matemáticas a este juego (por si las de Bill Cutler no fuesen suficientes): Imaginemos el puzzle montado que lo acabamos de comprar en una tienda en la que viene envuelto con un plástico transparente totalmente ajustado (para prevenir que se desmonte accidentalmente). Este plástico formaría un poliedro ¿De qué tipo es este poliedro?

Pues bien, aquí dejo unas imágenes hechas con la versión 3D de Geogebra donde se puede ver cómo sería ese poliedro. En la última imagen y en la animación me he tomado la libertad de “transformar” los rectángulos azules (donde el puzzle estaría totalmente en contacto con el plástico) en cuadrados. De tal forma que los Trapecios verdes también queden transformados en cuadrados del mismo tamaño (así este poliedro final sería un Sólido Arquimediano).





Para esta entrada ya es suficiente, aunque en el próximo post seguiré hablando sobre este tipo de puzzle (aun queda mucho por ver).

Enlaces:
Enlace de Wikipedia sobre Lu Ban (y en español).
Puzzles clásicos chinos.
Una buena idea para fabricar este puzzle rápido: usando piezas de Lego.
Para jugar usando iPhone o iPad (no lo he probado ya que yo no como manzanas).
Sobre Burr puzzles en general (básicamente incluye el contenido de la página de Wikipedia).


Una solución de un puzzle como el mio usando fotos y la otra solución con dibujos.
Una pequeña recopilación de Burr de 6 piezas, otra para quien quiera aprender chino.

Y Los dos enlaces básicos: La página de Bill Cutler con el análisis del Burr de 6 piezas y la página de puzzles de Rob dedicada a interlocking puzzles. Empieza con los Burr de 6 piezas y creo que es lo más completo que hay en internet hoy en día.
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1 comentario:

  1. buenas me gustaria saber como se resuelve el último puzle, el de los cilindros de plástico.

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