jueves, 15 de mayo de 2014

Burr de 6 piezas (II)



En el post anterior hay un pequeño resumen histórico de los puzzles Burr de 6 piezas y una pequeña introducción a este tipo de puzzles en la que se menciona entre otras cosas el sistema de numeración de las piezas. Y en esta nueva entrada vamos a empezar suponiendo que todo el mundo ha leído hasta ese punto. En la siguiente fotografía hay un conjunto de 32 piezas del tipo Notchable (Recuerdo que son las más fáciles de fabricar) con las que se pueden hacer unos cuantos puzzles.

Pero para comprender un poco más este juego y entender porqué construí ese conjunto de piezas es preciso recordar antes aquel análisis detallado de este tipo de Burr que publicó Bill Cutler en 1978.



En la anterior entrada del blog dejé un poco en el aire la cuestión del número de posibilidades que hay para la elección de las piezas para el puzzle Burr. Simplemente puse que eran “demasiadas”. Concretemos ahora un poquito más:

Primero nos centramos en las piezas posibles de cada tipo. Para eso recordamos que las piezas tenían una “estructura básica” y una serie de 12 cubitos interiores que podían haber sido retirados (o no) para formar cada pieza. Cada una de las posiciones de esos 12 cubitos puede estar vacía u ocupada, es decir tiene dos estados posibles. Por lo tanto se pueden eliminar de 2^12 = 4.096 formas distintas (cada una de esas formas dará lugar a una pieza). Pero sólo 2.225 de estas posibilidades proporcionan una pieza compacta. Y De esas 2.225 posibilidades, si eliminamos las simetrías nos quedan “sólo” 837 piezas distintas (estas son las que hemos llamado de tipo general).

Hacemos un recuento de esas 837 piezas posibles según la dificultad de su construcción en una carpintería: Así tenemos 78 piezas Millable (se pueden construir con una fresadora); Y  59 de esas 78 piezas son además Notchable (la forma más fácil de construirlas es con una sierra circular o de banda, aunque con una caja de ingletes y muchísimo esfuerzo se podría hacer lo mismo).

Y veamos ahora un pequeño resumen de los alucinantes resultados (sobre todo para su época) de Bill Cutler. Encontró que “sólo” 369 de las 837 piezas pueden usarse para generar soluciones sin huecos del puzzle Burr. Además encontró que encajarían formando la ya familiar figura final del Burr de 119.979 formas diferentes sin huecos interiores (aunque sería necesario repetir algunas piezas de las 369 ya que en muchos casos sería necesario usar simultáneamente algunas piezas iguales).

Sólo con piezas Notchables
También hizo el mismo análisis que se resume en el párrafo anterior pero restringiéndose sólo a las piezas más fáciles de fabricar (las 59 notchables). Y encontró que sólo 25 de ellas entrarán en juego para formar de 314 formas diferentes el puzzle, aunque de nuevo sería necesario repetir algunas de ellas (concretamente harían falta un juego total de 42 piezas).

Y aquí es donde empieza la historia de conjunto de piezas. En 2005 encargué a un carpintero unas piezas de madera de sapelli para fabricarme el conjunto de 25 piezas notchables. Pero como supuse que podía tener fallos construyéndolas encargué más de 25. Concretamente, el carpintero hizo 32 piezas. Esas piezas quedaron a la espera de que me atreviera a intentar fabricar el puzzle. Muchas veces imaginé cómo podría hacerlo, pero fue el verano pasado (2013) cuando me decidí definitivamente a intentarlo. Con una ingletadora de mi hermano que tiene en la parte superior de la sierra circular una mesa regulable en altura. Así pude regular la profundidad del corte y pasando varias veces las piezas transversalmente fui eliminando la madera sobrante de cada pieza.

La verdad es que estoy bastante contento con el resultado final ya que las piezas encajan bastante bien. Y lo más sorprendente es que conseguí hacer las 25 notchables sin estropear ningún trozo de madera. De modo que con los 7 sobrantes decidí repetir algunas de las piezas para acercarme lo más posible a las 314 soluciones que habría con el juego de 42. Así repitiendo las piezas 52, 256, 871, 928, 975 y dos más de la 1024 he conseguido un conjunto de 32 piezas que se pueden encajar de 283 formas diferentes (cerca de las 314). Aunque en realidad con las 42 piezas de Bill Cutler sólo se pueden hacer 221 combinaciones de 6 piezas con solución ya que algunas combinaciones dan más de una solución (y con mis 32 yo tengo 194 combinaciones).

Al programar el juego en BurrTools me llevé una gran sorpresa ya que el programa me decía que tenía 162 soluciones en lugar de las 283 que yo esperaba. Pero no hay ningún error ya que el programa elimina por defecto las soluciones simétricas de las que ya ha guardado. Y si marcamos la casilla para que no las elimine tenemos las 283 esperadas. 



El análisis de todas las combinaciones posibles (las 314) lo tenía descargado de la antigua página de IBM cuya página inicial era la que aparece en la imagen anterior y que los antiguos aficionados seguro que recordarán. Con esos datos y abusando de la confianza con mi hermano le pedí que hiciese un programa para obtener todas las combinaciones posibles que puedo hacer para formar varios Burr simultáneamente con mis piezas. Los resultados no pueden ser reproducidos aquí, pero sí puedo decir que: en total tengo 5.133 juegos de 12 piezas con los que hacer 2 Burr al mismo tiempo; 10.295 juegos de 18 piezas con los que hacer 3 Burr simultáneamente; y ahí se acaba todo, porque no hay ninguna posibilidad de hacer 4 Burr con ninguna combinación de 24 piezas de mis 32.



Nivel  1 
Normalmente a estos juegos se les asigna un nivel de dificultad según el número de movimientos necesarios para sacar la primera pieza, pero al no tener huecos interiores todos son de nivel 1. Los ejemplos más típicos usan la pieza 1 a modo de llave (hay 96 de estas combinaciones con mis piezas). En las dos fotografías siguientes vemos dos de estas combinaciones en las que la pieza 1 ha sido retirada desplazándola longitudinalmente.






Como hemos dicho todas las soluciones sin hueco son de nivel 1, pero sin embargo sí que podemos observar rasgos diferenciadores entre cada combinación de piezas.Por ejemplo: Si tiene alguna pareja de piezas simétricas, si hay piezas repetidas, si tiene varias soluciones, si hay varias piezas que se deben mover simultaneamente antes de ser separadas, etc. En la página de IBM mencionada también se clasificaban las combinaciones según el grado de interés de cada una.

Y hay otro aspecto muy importante para analizar estos juegos: el número de "falsas soluciones". Me explico: A veces estás montando el burr y sólo queda una pieza por colocar y además observas que la pieza que te queda encajaría perfectamente en ese hueco, pero no encuentras forma de colocarla (en realidad sólo sería posible materializándola directamente en su hueco). Pues en mi juego hay 25 combinaciones en las que puede pasar esto. De hecho hay una combinación en concreto que tiene 3 de estas “falsas soluciones” y sólo otra factible. En BurrTools se diferencia entre Assemblies y Soluciones.

Niveles  superiores  
Hasta aquí llega el resumen de lo que publicó en 1978. Pero Bill no se conformó con esos 119.979 puzzles sino que decidió también estudiar otro tipo de soluciones: las que dejan algún hueco interior (no visible una vez montado el puzzle).

Para quien no ha jugado nunca con uno de estos puzzles podrá parecer que si hay huecos interiores el puzzle será más sencillo, pero en realidad suele ser todo lo contrario. Al permitir huecos interiores aparecerán muchos puzzles nuevos, y en muchos de esos casos los huecos permitirán el movimiento de algunas piezas. Y lo más interesante es que en muchos casos es necesario hacer varios movimientos de piezas para conseguir poner o quitar las primeras piezas.

De modo que para montar el juego será necesario encontrar la posición de cada pieza y la secuencia de movimientos que permiten encajarlas (desmontarlos será algo más sencillo ya que la posición correcta nos la dan de inicio). Así se detalla el nivel de un puzzle con una secuencia de números que indica el número de movimientos necesarios para extraer las piezas sucesivas. Por ejemplo, un puzzle de nivel 4.2 necesita 4 movimientos para sacar la primera pieza y otros dos después para sacar la segunda.

Pues bien, Bill completó este análisis en 1990 haciendo funcionar varios ordenadores durante 2 años y medio. Y aunque con la potencia actual seguro que este tiempo se reduciría mucho, es importante apreciar el gran mérito de Bill por atreverse a resolver este problema con aquellos medios. Y atención a los resultados: Hay  35.657.131.235 formas de montar el puzzle (Assemblies) pero de esa enorme cantidad “sólo” 5.950.000.000 (es una estimación) son soluciones válidas. Es muy significativo que el segundo número sea sólo una estimación ahí se puede ver que resolver el puzzle es mucho más difícil que ver cómo se podrían colocar las piezas.

Bill demostró que el máximo nivel de dificultad si nos restringimos a piezas notchables es 5. Aunque algunas combinaciones admiten posiciones de mayor nivel, estas combinaciones siempre admiten una recolocación de nivel igual o inferior a 5. De modo que Bill se lanzó a buscar puzzles interesantes de nivel 5. Y yo he hecho lo mismo con mi juego de 32 piezas.

Programé BurrTools para que encontrase las soluciones del juego permitiendo huecos y encontré 301.969 soluciones (eliminando las simetrías). Entre esas soluciones yo quería buscar las de nivel máximo (5). De este tipo tenía 492 aunque muchas de ellas serán irrelevantes ya que el mismo grupo de piezas puede tener varias soluciones más de nivel más bajo, a parte de la de nivel 5. He repasado un poco los resultados intentando localizar los de solución única y he encontrado algunas combinaciones interesantes como por ejemplo:


Piezas: 103-188-256-824-928-1024
Solución única Nivel 5.2
Assemblies 7
3 Huecos
Piezas: 103-256-256-928-928-992
Solución única Nivel 5
Assemblies 4
5 Huecos
Piezas: 103-256-256-928-975-992
Solución única Nivel 5
Assemblies 6
4 Huecos
 


Como un pequeño homenaje a la página que ya he mencionado un par de veces, vemos aquí el programa java que tenían para diseñar y resolver nuestros propios juegos:

Piezas: 103-188-256-824-928-1024
Solución única Nivel 5.2
Assemblies 7
3 Huecos


Además incluye la numeración binaria de cada pieza




En definitiva. Con este conjunto de 32 piezas tengo entretenimiento para un buen rato. Creo que por el momento no podré tener todas las soluciones posibles. Aunque con las que he mencionado aquí ya está bastante bien. Y si no, siempre tendré la alternativa de coger cualquier combinación aleatoria de 6 piezas y probar a resolverlo.


Enlaces:
Página de Bill Cutler
Las 42 piezas para hacer puzzles sin huecos y sus combinaciones detalladas: Está en chino, pero los dibujos y los números de las piezas sirven. Hay que tener en cuenta que en la numeración de las piezas les asigna una unidad menos que el sistema que yo uso (mi pieza 1 es la 0 en esos diagramas).
Algunas capturas de la página de IBM mencionada.


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