Total Eclipse

 

Total Eclipse es un puzzle diseñado por Oskar van Deventer y puedes ver cómo el propio Oskar lo enseña en YouTube en este enlace.

Total Eclipse - metal

El primer paso de desenganchar las dos anillas interiores es elemental y a partir de ahí es fácil comprobar que las anillas pueden ir “moviéndose” por la esfera con demasiadas posibilidades para no perderse. He de reconocer que, tuve que usar muchísimo ensayo y error (bastante a ciegas) para llegar a sacar completamente las dos anillas que forman la esfera interior la primera vez. Este juego es un laberinto y yo me perdí en él totalmente, volviendo una y otra vez a los mismos puntos. Sólo después de muchísimo tiempo y muchísima suerte llegué a encontrar la solución. Pero sin entender en el fondo cómo lo había conseguido. Con lo cual, recorrer el camino inverso se me antojó casi imposible. Había que estudiar a fondo el puzzle.

Descripción del puzzle

Como puede verse en la fotografía anterior, el puzzle consta de dos aros idénticos en cuanto a la forma, aunque uno es plateado y otro dorado. Estos aros tienen una abertura con dos salientes en forma de dientes que encajan en el lado opuesto del otro aro. Así estos dos aros pueden engranarse uno en el otro en una única posición formando 90º entre ellos y completando “una esfera”. Esta esfera se encuentra inicialmente encerrada dentro de la otra esfera mayor de la fotografía que está hecha de una sola pieza.

La “esfera exterior” está formada por tres circunferencias máximas que se cortan siempre formando 90º entre ellas (a modo de ecuador y meridianos).  Esta esfera no tiene ninguna pieza móvil y podemos ver que en el centro de cada “cuadrante de meridiano o de ecuador” tiene siempre una o dos muescas o rebajes. Esas muescas son para permitir que los dientes de las anillas anteriormente descritas (situados en su apertura) puedan pasar por esos puntos.

 En algunos sitios tendremos muescas por el exterior de la esfera, en otros sitios por el interior. Y hay un cuadrante especial que tiene dos marcas paralelas en el lateral en lugar de en el exterior o el interior: Ese será el punto por el que empezaremos a resolver el puzzle (como se puede ver en el vídeo de Oskar).

 

Como se mueven las anillas.

En este apartado voy a comentar cómo se mueven las anillas por el puzzle y creo por ahora no revelaré nada que no se vea en el vídeo de Oskar y/o se intuya en las fotos. De todos modos estás avisado de que voy a describir cosas que tal vez no quieras conocer.

El primer paso para resolver el puzzle ya lo enseña Oskar en su vídeo. Se coloca la esfera interior para que los dientes de uno de los aros queden alineados con las muescas del “ecuador exterior”(como en la foto anterior). Se empuja el aro que hemos alineado con las muescas y empezará a salir por las ranuras pero quedarán todavía enlazados un aro dentro del otro, pero sin formar ya la esfera, y "abrazando al ecuador". Por ahora cuando tenga que describir cualquier movimiento vamos a ignorar esa segunda anilla que acompañará a la primera en sus movimientos durante mucho tiempo, pero que por ahora no entrará en juego.

 Para mover este aro que estamos sacando, de una posición a otra, tendremos que ir haciendo pasar los dientes que tiene en su abertura por las muescas interiores o exteriores que encontramos en los cuadrantes de la esfera exterior. No todos los movimientos que nos gustaría hacer son posibles. Ya que los dientes están solo en uno de los lados de la anilla, y las muescas por las que tienen que pasar necesitamos que coincidan con ellos. Y como no siempre tendremos las muescas donde nos gustaría, tendremos que ir desplazándonos con el aro por esa estructura de esfera exterior hasta que podamos sacar completamente la anilla (y al final las dos anillas).

Me voy a repetir un poco, pero volvamos a imaginar cuando empezamos a sacar la anilla interior por “el ecuador”. Llegamos a que esa anilla rodea al ecuador en ese cuadrante por el que acaba de empezar a salir. Si giramos sobre sí misma la anilla encontraremos que podrá pasar por alguno de los 4 cuadrantes que rodean al que abraza la anilla. Cuando pase por alguno de esos 4 cuadrantes (gracias al rebaje o muesca que haya en él) tendremos que la anilla estará rodeando uno de los puntos de la esfera donde se encuentran formando 90º el ecuador con algún meridiano. Y luego podrá pasar por otro cuadrante y rodeará a su vez otro cuadrante diferente, y así sucesivamente. Para conseguir sacar la anilla, ésta tendrá que hacer un recorrido por la esfera de forma que al final acabe de nuevo en el punto inicial del ecuador, pero habiendo girado 180º sobre sí misma. De ese modo los dientes estarán ahora en la posición correcta para atravesar de nuevo el ecuador y salir completamente. (Bueno, habrá que ver también qué hacer con el otro aro, pero por ahora vamos a ignorarlo).

 

Mi análisis para buscar la solución.

Ahora sí voy a detallar más cómo analicé la estructura y busqué las soluciones, de modo que quien no quiera saber cómo lo analicé, que no siga leyendo.

Siguiendo la notación ya indicada, nuestra esfera tiene un ecuador fácilmente identificable, que corta a los 2 meridianos ortogonales en 4 puntos. Y luego tenemos los polos norte y sur. Esos 6 puntos son iguales en el juego. Para no perderme, puse una pegatina con una letra minúscula en cada uno de esos 6 puntos (a, b, c, d, e, f). Con eso ya podía distinguirlos, pero aún era insuficiente.

El objetivo ahora era hacer un grafo que indicara en cada momento dónde se encontraba el aro (qué zona del puzzle estaba “rodeando o abrazando”) y que me mostrase también las posibilidades de movimientos que surgían. De este modo, además de esos 6 nodos de la esfera, el aro se puede encontrar abrazando a un cuadrante de meridiano o de ecuador. Por eso tendría que nombrarlos también y además tendría que describir cómo pasar de una a otra posición usando las muescas.

Decidí representar y marcar con letras mayúsculas las muescas interiores que se encuentran en mitad de los cuadrantes. Y con números las muescas exteriores (siendo 0 la muesca de entrada y salida). De este modo esta nomenclatura podía ser usada para describir el centro del cuadrante que es abrazado por el aro  en un momento dado. Y la misma notación se podía usar para ver por qué muescas podía pasar los dientes del aro para desplazarse.

Pero todavía había otro problema para completar el análisis. Porque el aro no es simétrico, ya que tiene los dientes en uno de sus lados y no en el otro, con lo cual cuando se coloca en las posiciones que hemos marcado se puede hacer con varias orientaciones diferentes. Por ejemplo, en el caso de los puntos a, b, c, d, e, f donde se encuentran ecuador con meridiano o meridiano con meridiano tenemos que el aro se puede colocar de 4 formas diferentes, como he dibujado en esta fotografía:

Por lo tanto cada letra minúscula con la  que yo marqué mi puzzle, en mi análisis en papel se vería ampliada a 4 posiciones diferentes del aro: numeradas con subíndices a₁, a₂ , a₃ , a₄ , b₁ ….

Algo similar ocurre en los centros de los cuadrantes de meridianos (marcados con números y/o mayúsculas).En estos casos el aro se puede colocar sólo de dos formas diferentes alrededor suyo y en este caso decidí no desdoblar estas dos posibilidades en mi notación (aunque tal vez debería haberlo hecho). (Como ves, mi análisis no es totalmente coherente, ni está revisado: me salió así y así se quedó).

 

Recapitulando, tenemos que el aro podría abrazar (al menos en teoría) cada uno de los 6 nodos de 4 formas diferentes y a cada uno de los 12 meridianos de dos formas diferentes. Y para ir de una posición a otra tendrá que hacerlo pasando por una de las muescas que tenemos en los cuadrantes. Así podríamos crear un grafo donde tendríamos 6*4+12*2=48 vértices (que indicarían esas posiciones). Si tenemos el aro en el puzzle en una posición determinada (un vértice del grafo) y conseguimos pasar los dientes del aro por una de las muescas habremos movido el aro a otra posición (otro vértice del grafo). De modo que la nomenclatura de la muesca que hemos usado haría las veces del nombre de la arista que une dos vértices del grafo.

Materializar el grafo completo de una vez era demasiado para mí. De modo que lo hice por partes y luego lo uní todo. Además, hay muchos tramos del grafo que se pueden simplificar ya que hay muchos vértices que sólo tienen dos aristas (y por lo tanto son vértices de paso). Así esas dos aristas y el vértice se pueden fusionar en una nueva arista de peso 2. Haciendo esto reiteradamente el grafo se simplificó bastante.

Con esta primera simplificación obtuve un grafo que empezaba a ser manejable con 21 vértices en lugar de los 48 iniciales. Aunque como contrapartida para las aristas tuve que usar nombres muy largos que reflejasen el camino a seguir al resolver el puzzle. Pero todavía era bastante enrevesado.

Entonces se me ocurrió buscar algún programa de ordenador que me ayudara a manejar el grafo y encontré la página https://graphonline.ru/es/#. En esa página introduje el grafo y el programa lo recolocó todo para que no se cruzasen las aristas y fuese más manejable. Y finalmente yo lo recoloqué con una distribución que me parecía más graciosa:

 

En ese grafo es fácil encontrar caminos que nos llevan desde la posición marcada como Salida  a la Meta, o al contrario. De hecho, es fácil también encontrar los 4 caminos de longitud mínima 14 (con los pesos asignados a cada arista que indican el número de aristas originales que han quedado fusionadas en ella al simplificar el grafo = pasos).

No hay ningún camino que podamos decir que es de longitud máxima si permitimos que se hagan ciclos cerrados, pero si excluimos esta posibilidad, el camino máximo es de longitud 36.

Y gracias al programa de ordenador usado para el grafo incluso podemos ver que hay 172 soluciones posibles del puzzle (como decimos, excluyendo los ciclos, que las haría infinitas).

Y todo esto para encontrar la forma de introducir o sacar una anilla. Recordamos que el problema tiene dos anillas que deben ir enlazadas en una forma concreta para formar la esfera interior. Y hablo de introducirlas ya que en mi opinión, sacarlas es un poco más fácil ya que hay que dejarse llevar por la forma en la que ya se encuentran enlazadas. Una vez que las hemos sacado, podemos dejar el juego en espera el tiempo suficiente para no recordar cómo estaban enlazadas. Así el reto de descubrir las posiciones y el orden de actuación con los dos discos también es bastante interesante.